Aplicações Função Exponencial no cotidiano

1) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,03²⁰ = 1,80.

Temos a seguinte função exponencial: 

P(x) = P₀ * (1 + i)^t

P(x) = 500 * (1 + 0,03)²⁰

P(x) = 500 * 1,03²⁰

P(x) = 500 * 1,80

P(x) = 900

O PIB do país no ano de 2023 será igual a R$ 900 bilhões. 

2) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v₀ * 2 ^–0,2t, em que v₀ é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.

Temos que v(10) = 12 000, então:

v(10) = v₀ * 2 ^–0,2*10

12 000 = v₀ * 2 ^–2

12 000 = v₀ * 1/4

12 000 : 1/ 4 = v₀

v₀ = 12 000 * 4

v₀ = 48 000

A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.

3) Após o início de um experimento o número de bactérias de uma cultura é dado pela expressão:

 N(t) = 1200*2^0,4t

Quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 19200 bactérias?

N(t) = 1200*2^0,4t

N(t) = 19200

1200*2^0,4t = 19200
2^0,4t = 19200/1200
2^0,4t = 16
2^0,4t = 2⁴

0,4t = 4
t = 4/0,4
t = 10 h

A cultura terá 19200 bactérias após 10 h. 

4) A quantia de R$ 1200,00 foi aplicada durante 6 anos em uma instituição bancária a uma taxa de 1,5% ao mês, no sistema de juros compostos.

a) Qual será o saldo no final de 12 meses?
b) Qual será o montante final?

M = C(1+i)^t (Fórmula dos juros compostos) onde:
C = capital
M = montante final
i = taxa unitária
t = tempo de aplicação

a) Após 12 meses.
Resolução
M = ?
C = 1200
i = 1,5% = 0,015 (taxa unitária)
t = 12 meses

M = 1200(1+0,015)¹²
M = 1200(1,015) ¹²
M = 1200*(1,195618)
M = 1.434,74
Após 12 meses ele terá um saldo de R$ 1.434,74.


b) Montante final
Resolução
M = ?
C = 1200
i = 1,5% = 0,015 (taxa unitária)
t = 6 anos = 72 meses

M = 1200(1+ 0,015)⁷²
M = 1200(1,015) ⁷²
M = 1200(2,921158)
M = 3.505,39
Após 6 anos ele terá um saldo de R$ 3.505,39.

5) Sob certas condições, o número de bactérias B de uma cultura , em função do temo t, medido em horas, é dado por B(t) = 2^t/12. Qual será o número de bactérias 6 dias após a hora zero?

6 dias = 6 * 24 = 144 horas

B(t) = 2^t/12
B(144) = 2^144/12
B(144) = 212
B(144) = 4096 bactérias

A cultura terá 4096 bactérias.

Por: Mariana Melo. 

Função Exponencial

Toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Observe:

y = 2 ^x
y = 3 ^{x + 4}
y = 0,5 ^x
y = 4 ^x

A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:

                                    f: R→R tal que y = a ^x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1.

Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 1 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:

                                       

Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação.

Por: Victoria Sabrine.

Aplicação de Função Quadrática no cotidiano.

- Vamos falar sobre uma curva muito especial, a parábola. Qualquer aluno de matemática conhece uma parábola como um gráfico de uma função do tipo y = ax² + bx + c. Esta curva surge constantemente no seu quotidiano e talvez nunca se tenha dado conta.

- Tal como muitas ideias matemáticas, esta curva foi estudada pelos gregos como um objeto puramente matemático, mas como em quase todas as ideias matemáticas, acabou por ter uma aplicação no nosso quotidiano. As parábolas intervêm no estudo de problemas do âmbito da Astronomia, da Física e de outras ciências, como por exemplo, o estudo do lançamento de projéteis.

Há várias situações na vida real em que a configuração de arco da parábola está presente:

Pontes Penseis

Parábolas são utilizadas na engenharia na construção de pontes estáveis e económicas, sendo que todas elas são de formato parabólico.

Faróis dos carros

Os faróis dos carros possuem respetivamente uma lâmpada que é colocada no foco da superfície parabólica. Neste caso podemos ter acesso às propriedades óticas da parábola.

Antenas Parabólicas

São objetos bastante utilizados nas comunicações atuais, através de transmissão via satélite, telefonia móvel e GPS (Global Positioning System) – sistema de radionavegação baseado em satélites.

Por: Íris Cristal.

Função Quadrática

Definição: 
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. Vejamos alguns exemplos de função quadrática:

f(x) = 3x2 - 4x  + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1

f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1

f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5

f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0

f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Gráfico: 
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola. 

Observação:

 Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;

Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

Zero e Equação do 2º Grau

    Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

    Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

                   

Observação: A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando, chamado discriminante, a saber:

- quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;

- quando é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);

- quando é negativo, não há raiz real.

Coordenadas do vértice da parábola

   Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.

Em qualquer caso, as coordenadas de V são: 

Veja os gráficos: 

                        

Imagem

O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c,  a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:

- 1ª quando a > 0, 

                                                

- 2ª quando a < 0, 

Construção da Parábola

   É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:

- O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;

- Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;

- O vértice V  indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);

- A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos  y é o eixo de simetria da parábola;

- Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c; então  (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.

Sinal

   Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y são positivos.

    Conforme o sinal do discriminante  = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:

- 1º  > 0: Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 x2). A parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é  o indicado nos gráficos abaixo: 

Inequação do 2º grau

Uma inequação do 2° grau na incógnita x é uma expressão do 2° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas:

- ax² + bx + c > 0;
- ax² + bx + c < 0;
- ax² + bx + c ≥ 0;
- ax² + bx + c ≤ 0.

Para resolvermos uma inequação do Segundo grau devemos estudar o sinal da função correspondente equação.

1. Igualar à sentença do 2° grau a zero;
2. Localizar e (se existir) as raízes da equação no eixo x.
3. Estudar o sinal da função correspondente, tendo-se como possibilidades:

                         a > 0                             

   
                            a < 0

Por: Íris Cristal. 

Aplicação da Função Afim no nosso dia-a-dia

A Função Afim é de grande importância e está presente no nosso cotidiano de diversas maneiras. Por exemplo: 

EXEMPLO 1: Um motorista de táxi cobra R$ 4,50 de bandeirada mais R$ 0,90 por quilômetro rodado. Sabendo que o preço a pagar é dado em função do número de quilômetros rodados, calcule o preço a ser pago por uma corrida em que se percorreu 22 quilômetros?

f(x) = 0,9x + 4,5
f(22) = 0,9*22 + 4,5
f(22) = 19,8 + 4,5
f(22) = 24,3
O preço a pagar por uma corrida que percorreu 22 quilômetros é de R$ 24,30.

EXEMPLO 2: Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$ 16,00 mais um custo variável de R$ 1,50 por unidade produzida. Sendo x o número de peças unitárias produzidas, determine:
a) A lei da função que fornece o custo da produção de x peças;

b) Calcule o custo de produção de 400 peças.

Respostas:

a) f(x) = 1,5x + 16

b) f(x) = 1,5x + 16
f(400) = 1,5*400 + 16
f(400) = 600 + 16
f(400) = 616
O custo para produzir 400 peças será de R$ 616,00.

Por: Mariana Melo.