Função Quadrática

Definição: 
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. Vejamos alguns exemplos de função quadrática:

f(x) = 3x2 - 4x  + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1

f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1

f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5

f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0

f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Gráfico: 
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola. 

Observação:

 Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;

Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

Zero e Equação do 2º Grau

    Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

    Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

                   

Observação: A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando, chamado discriminante, a saber:

- quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;

- quando é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);

- quando é negativo, não há raiz real.

Coordenadas do vértice da parábola

   Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.

Em qualquer caso, as coordenadas de V são: 

Veja os gráficos: 

                        

Imagem

O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c,  a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:

- 1ª quando a > 0, 

                                                

- 2ª quando a < 0, 

Construção da Parábola

   É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:

- O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;

- Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;

- O vértice V  indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);

- A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos  y é o eixo de simetria da parábola;

- Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c; então  (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.

Sinal

   Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y são positivos.

    Conforme o sinal do discriminante  = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:

- 1º  > 0: Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 x2). A parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é  o indicado nos gráficos abaixo: 

Inequação do 2º grau

Uma inequação do 2° grau na incógnita x é uma expressão do 2° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas:

- ax² + bx + c > 0;
- ax² + bx + c < 0;
- ax² + bx + c ≥ 0;
- ax² + bx + c ≤ 0.

Para resolvermos uma inequação do Segundo grau devemos estudar o sinal da função correspondente equação.

1. Igualar à sentença do 2° grau a zero;
2. Localizar e (se existir) as raízes da equação no eixo x.
3. Estudar o sinal da função correspondente, tendo-se como possibilidades:

                         a > 0                             

   
                            a < 0

Por: Íris Cristal.