Aplicações no nosso dia a dia

Aplicação dos Logaritmos: 

Os logaritmos possuem várias aplicações na Matemática e em diversas áreas do conhecimento, como Física, Biologia, Química, Medicina, Geografia entre outras. Iremos através de exemplos demonstrar a utilização das técnicas de logaritmos na busca de resultados para as variadas situações em questão.

Exemplo 1 – Matemática Financeira 

Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 numa instituição bancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00?

Resolução:
Nos casos envolvendo a determinação do tempo e juros compostos, a utilização das técnicas de logaritmos é imprescindível.

Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C * (1 + i)^t. De acordo com a situação problema, temos:

M (montante) = 3500
C (capital) = 500
i (taxa) = 3,5% = 0,035
t = ?

M = C * (1 + i)^t
3500 = 500 * (1 + 0,035)^t
3500/500 = 1,035^t
1,035^t = 7

Aplicando logaritmo

log 1,035^t = log 7
t * log 1,035 = log 7 (utilize tecla log da calculadora científica )
t * 0,0149 = 0,8451
t = 0,8451 / 0,0149
t = 56,7

O montante de R$ 3 500,00 será originado após 56 meses de aplicação.


Exemplo 2 – Geografia 

Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população desta cidade irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma?

População do ano-base = P0
População após um ano = P0 * (1,03) = P1
População após dois anos = P0 * (1,03)²= P2

População após x anos = P0 * (1,03)^x = Px

Vamos supor que a população dobrará em relação ao ano-base após x anos, sendo assim, temos:

Px = 2*P0
P0 * (1,03)^x = 2 * P0
1,03^x = 2

Aplicando logaritmo

log 1,03^x = log 2
x * log 1,03 = log2
x * 0,0128 = 0,3010
x = 0,3010 / 0,0128
x = 23,5

A população dobrará em aproximadamente 23,5 anos.

Aplicação da função Modular:

A função modular tem várias aplicações no cotidiano, como por exemplo a aplicação em comparação das temperaturas entre duas ou mais cidade, na Física, na Química na Geografia entre outras.

Exemplo 1 – Geografia 

A estrada que liga Recife a Caruaru tem 240 km de extensão e será recuperada em três etapas. Na primeira etapa, será recuperado 1/6 da estrada e na segunda etapa 1/4 da estrada. Quantos quilômetros será recuperada na terceira etapa?

Primeira etapa: 1 / 6

Segunda etapa: 1 / 4

1a + 2a = 1 / 6 + 1 / 4

Efetuando (com mmc)

1a + 2a = 5 / 12

Para completar 12 / 12 ( estrada enteira), falta

12 / 12 - 5 / 12 = 7 / 12

Então, aterceira etapa corresponde a

7 / 12 da estrada

Questão sobre Função Modular

(UFJF) O número de soluções negativas da equação | 5x-6 | = x² é:

a) 0  
b) 1  
c) 2  
d) 3  
e) 4

Solução:

Temos então que 5x-6 = x² ou 5x-6 = -x². Assim, temos que resolver cada uma dessas equações:

5x – 6 = x²
x² - 5x + 6 = 0
S = -5 , P = 6
(x-2)(x-3) = 0
x = 2 ou x = 3

5x – 6 = -x²
x² + 5x – 6 = 0
S = 5, P = -6
(x+6)(x-1) = 0
x = -6 ou x = 1

Assim, teremos uma solução negativa: -6.
Resposta: letra B.

---

(UTP) As raízes reais da equação |xl² + |x| - 6 = 0 são tais que:

a) a soma delas é – 1.
b) o produto delas é – 6.
c) ambas são positivas.
d) o produto delas é – 4.
e) n.d.a.

Aqui, usamos um recurso muito comum na Matemática, chame |x| de y. Então a equação ficará   y² + y – 6 = 0. Resolvendo-a:

y² + y – 6 = 0
S = 1, P = -6
(y+3)(y-2) = 0
y = -3 ou y = 2

Assim, |x| = -3 ou |x| = 2. Como não existe módulo negativo, |x| = 2. Então, x = -2 ou x = 2. Portanto, seu produto (2 multiplicado por -2) é igual a 4.
Resposta: letra D.

---

(UFCE) Sendo f(x) = |x²-2x|, o gráfico que melhor representa f é:

a)

b)

c)

d)

Solução

Repare que a função, sem o módulo, é do segundo grau. Portanto, as letras c e d não podem ser. A diferença entre as alternativas a e b são as raízes, com isso, basta calcularmos:

|x²-2x| = 0
x² - 2x = 0
x (x-2) = 0
x = 0 ou x = 2

Assim, o único gráfico possível é o a. Resposta letra A.

Modulo: Inequação, Equação, Função

O módulo de um número é igual a sua distância até zero. Sendo a grandeza distância sempre positiva, conclui-se que o módulo de um número é sempre positivo. Para encontrar o módulo de um número x, por exemplo, siga essa regra prática:

Por exemplo: |6| = 6, pois 6 > 0. Já |– 6| = – (– 6) = 6.

Agora que já relembramos o conceito de módulo, vamos ingressar nas inequações modulares.

Equação modular

De maneira mais formal, podemos definir função modular como:
f(x) = |x| ou y = |x|

A função f(x) = |x| apresenta as seguintes características:

f(x) = x, se x≥ 0

ou

f(x) = – x, se x < 0

Essas características decorrem da definição de módulo.

Exemplo 1. Construa o gráfico da função f(x) = | –x|
Solução: primeiro vamos analisar o gráfico da função acima sem a utilização do módulo na sua lei de formação, ou seja, vamos fazer o gráfico de g(x) = – x 

O módulo presente na lei da função faz com que a parte do gráfico que se localiza abaixo do eixo x “reflita” no momento em que toca o eixo x. Mas por quê? Simples, a parte do gráfico abaixo do eixo x representa os valores negativos de y e, como o módulo de um número é sempre um valor positivo, o gráfico de f(x) = |– x| fica:

A parte do gráfico que está azul é parte que sofreu ação do módulo.

Inequação modular

Inequação modular é toda inequação cuja incógnita aparece em módulo. Veja alguns exemplos:

• |x| > 6
• |x| ≤ 4
• |x + 3| > 7
• |4x + 1| ≥ 3

Podemos utilizar as propriedades a seguir para resolver esse tipo de inequação:

• |x| > a        →     x < – a ou x > a.
• |x| < a        →     – a < x < a.
• |x| ≤ a        →     – a ≤ x ≤ a.
• |x| ≥ a        →     x ≤ – a ou x ≥ a.
• |x – a| ≤ b →    – b ≤ x – a ≤ b       →      a – b ≤ x ≤ a + b

Resolução de inequações modulares

Agora que você já conhece o conceito sobre inequações modulares e suas propriedades resolutivas, é hora de colocar a mão na massa. Antes de analisar as resoluções, tente resolver, utilizando as propriedades explanadas anteriormente, os modelos de inequações modulares acima. Veja as resoluções a seguir:

|x| > 6

x < – 6 ou x > 6

S = {x ∈ R | x < – 6 ou x > 6}

Equação modular

Definição: Equação modular é toda equação cuja incógnita se apresenta em módulo.

Dessa forma, são equações modulares:

• |– 2x + 5| = x
• |3x – 1| = 4
• |10 – 2x| = 2x – 5

Resolução de equações modulares

A resolução de equações modulares baseia-se na definição de módulo, mostrada no início deste texto. 

Vídeo-aula explicativa

Questão Função Logaritimica

ENEM 2011 - Questão 137 – Prova Azul.

A Escala e Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como MW ), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. MW  e M0  se relacionam pela fórmula:

Onde M0  é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através os sismogramas), cuja unidade é o dina ⋅  cm.

O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude MW  = 7,3.

U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes. Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M0  do terremoto de Kobe (em dina ⋅  cm)?

A) 10–5,10

 B) 10–0,73

 C) 1012,00

 D) 1021,65

 E) 1027,00

RESOLUÇÃO:

Pelo enunciado sabemos que MW = 7,3, basta sustituir na Fórmula:

– 10,7 + 2/3 log10 (M0) = 7,3

2/3 log10 (M0) = 7,3+10,7

2/3 log10 (M0) = 18

2 . log10 (M0) =18 . 3

log10 (M0) =54/2

log10 (M0) =27

Aplicando a definição de logarítmo: M0  = 1027

Portanto, o gabarito é letra E.

Função Logarítimca, Inequação, Equação

Considerando a e b dois números reais e positivos, sempre com a diferente de 0 , define-se logaritmo de b (logaritmando) na base a, qual número deve-se incluir no expoente de a afim de termos b como resultado.

Assim: a^x = b , então temos que 

Com as condições de .

I) , sendo que 3 é o logaritmo, 2 é a base e 8 é o logaritmando.
pois temos que 2³ = 8.

II) , sendo que –3 é o logaritmo, 3 é a base e 1/27 é o logaritmando.
pois temos que 3^-3 = 1/27 .

→ Antilogarítimo é definido como sendo: 
Exemplo:

I) 

Propriedades zero ( que são conseqüência direta da definição)

1º Propriedade (propriedade do produto).

2º Propriedade (propriedade do quociente).

3º Propriedade (propriedade da potência).

Conseqüência da 3º propriedade :

4º Propriedade (propriedade da mudança de base).

→ Colog, definição:

video by: Mayra Vital 

Inequação: 

As inequações logarítmicas são todas aquelas que apresentam logaritmos. A incógnita, nesses casos, está no logaritmando e/ou na base. Vale lembrar que um logaritmo possui o seguinte formato:

log_a b = x ↔ a^x = b,

*a é a base do logaritmo; b é o logaritmando e x é o logaritmo.

Para resolver inequações logarítmicas, aplicamos as propriedades operatórias dos logaritmos e os conceitos tradicionais de resolução de inequações. Assim como fazemos com as equações logarítmicas, é importante verificar as condições de existência dos logaritmos (tanto a base quanto o logaritmando devem ser maiores que zero).

Ao desenvolver as inequações logarítmicas, podemos alcançar duas situações:

1º) Desigualdade entre logaritmos de mesma base:

log_a b < log_a c

Temos aqui dois casos a serem analisados: se a base for maior do que 1 (a > 1), podemos desconsiderar o logaritmo e manter a desigualdade entre os logaritmandos, isto é:

Se a > 1, então log_a b < log_a c ↔ b < c

Se, em contrapartida, a base for um número entre 0 e 1 (0 > a > 1), ao resolver a inequação logarítmica, devemos inverter a desigualdade e estabelecer uma inequação entre os logaritmandos, ou seja:

Se 0 > a > 1, então log_a b < log_a c ↔ b > c

2º) Desigualdade entre um logaritmo e um número real:

log_a b < x

Se, ao resolver uma inequação logarítmica, depararmo-nos com uma desigualdade entre um logaritmo e um número real, podemos aplicar a propriedade básica do logaritmo, mantendo intacto o símbolo da desigualdade:

log_a b < x ↔ b < a^x

ou

log_a b > x ↔ b > a^x

Vejamos alguns exemplos de resolução de inequações logarítmicas:

Exemplo 1: log₅ (2x – 3) < log₅ x

Devemos verificar as condições de existência dos logaritmos:

2x – 3 > 0 2x > 3 x > 3/2

x > 0

Temos uma desigualdade entre logaritmos de mesma base que é maior do que 1. Podemos então manter a desigualdade apenas entre os logaritmandos:

log₅ (2x – 3) < log₅ x
2x – 3 < x
2x – x < 3
x < 3

Equação: Vamos então ver essa mesma ideia através da equação logarítmica:

log ₃ (x + 5) = 2
3² = x + 5
x + 5 = 3²
x + 5 = 9
x = 9 – 5
x = 4

Vamos substituir o valor encontrado para x a fim de verificar a condição de existência:

x + 5 > 0 → 4 + 5 > 0 → 9 > 0.

Como a condição de existência foi respeitada, concluímos que a solução da equação é x = 4.

Vejamos outro exemplo:

log _(3+x) (x² – x) = 1
(3 + x)¹ = x² – x
x² – x = 3 + x
x² – 2x – 3 = 0

Para resolvermos essa equação, vamos utilizar a Fórmula de Bhaskara:

Se fizermos x' = 1 + 2, teremos x' = 3. E se fizermos x'' = 1 – 2, teremos x'' = – 1.

Vamos agora substituir os valores encontrados para x a fim de verificar a condição de existência. Para x' = 3, temos:

x² – x = 3² – 3 = 9 – 3 = 6 > 0

Para x'' = --1,

x² – x = (-1)² – (– 1) = 1 + 1 = 2 > 0

Concluímos então que os resultados possíveis para essa equação são x = – 1 e x = 3.

II. Logaritmos de mesma base:

Se tivermos uma equação logarítmica do tipo log _a n = log _a m, já que a base é a mesma, para a igualdade ser verdadeira, é necessário que n = m. É importante ainda que n = m > 0, que é a nossa condição de existência. Vejamos um exemplo prático utilizando equação:

log ₂ (4x + 5) = log ₂ (2x + 11)

Nesse exemplo, a base 2 é a mesma em ambos os lados da equação, portanto, para a igualdade ser verdadeira, é necessário que 4x + 5 seja igual a 2x + 11, temos então:

4x + 5 = 2x + 11
4x – 2x = 11 – 5
2x = 6
x = ⁶/₂
x = 3

Vamos substituir o valor encontrado para x para verificarmos a condição de existência:

4x + 5 = 4 . 3 + 5 = 12 + 5 = 17 > 0 

Video-aula explicativa: