Função Logarítimca, Inequação, Equação

Toda função definida pela lei de formação f(x) = log_ax, com a ≠ 1 e a > 0 é denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais.

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Inequação: 

As inequações logarítmicas são todas aquelas que apresentam logaritmos. A incógnita, nesses casos, está no logaritmando e/ou na base. Vale lembrar que um logaritmo possui o seguinte formato:

log_a b = x ↔ a^x = b,

*a é a base do logaritmo; b é o logaritmando e x é o logaritmo.

Para resolver inequações logarítmicas, aplicamos as propriedades operatórias dos logaritmos e os conceitos tradicionais de resolução de inequações. Assim como fazemos com as equações logarítmicas, é importante verificar as condições de existência dos logaritmos (tanto a base quanto o logaritmando devem ser maiores que zero).

Ao desenvolver as inequações logarítmicas, podemos alcançar duas situações:

1º) Desigualdade entre logaritmos de mesma base:

log_a b < log_a c

Temos aqui dois casos a serem analisados: se a base for maior do que 1 (a > 1), podemos desconsiderar o logaritmo e manter a desigualdade entre os logaritmandos, isto é:

Se a > 1, então log_a b < log_a c ↔ b < c

Se, em contrapartida, a base for um número entre 0 e 1 (0 > a > 1), ao resolver a inequação logarítmica, devemos inverter a desigualdade e estabelecer uma inequação entre os logaritmandos, ou seja:

Se 0 > a > 1, então log_a b < log_a c ↔ b > c

2º) Desigualdade entre um logaritmo e um número real:

log_a b < x

Se, ao resolver uma inequação logarítmica, depararmo-nos com uma desigualdade entre um logaritmo e um número real, podemos aplicar a propriedade básica do logaritmo, mantendo intacto o símbolo da desigualdade:

log_a b < x ↔ b < a^x

ou

log_a b > x ↔ b > a^x

Vejamos alguns exemplos de resolução de inequações logarítmicas:

Exemplo 1: log₅ (2x – 3) < log₅ x

Devemos verificar as condições de existência dos logaritmos:

2x – 3 > 0 2x > 3 x > 3/2

x > 0

Temos uma desigualdade entre logaritmos de mesma base que é maior do que 1. Podemos então manter a desigualdade apenas entre os logaritmandos:

log₅ (2x – 3) < log₅ x
2x – 3 < x
2x – x < 3
x < 3

Equação: Vamos então ver essa mesma ideia através da equação logarítmica:

log ₃ (x + 5) = 2
3² = x + 5
x + 5 = 3²
x + 5 = 9
x = 9 – 5
x = 4

Vamos substituir o valor encontrado para x a fim de verificar a condição de existência:

x + 5 > 0 → 4 + 5 > 0 → 9 > 0.

Como a condição de existência foi respeitada, concluímos que a solução da equação é x = 4.

Vejamos outro exemplo:

log _(3+x) (x² – x) = 1
(3 + x)¹ = x² – x
x² – x = 3 + x
x² – 2x – 3 = 0

Para resolvermos essa equação, vamos utilizar a Fórmula de Bhaskara:

Se fizermos x' = 1 + 2, teremos x' = 3. E se fizermos x'' = 1 – 2, teremos x'' = – 1.

Vamos agora substituir os valores encontrados para x a fim de verificar a condição de existência. Para x' = 3, temos:

x² – x = 3² – 3 = 9 – 3 = 6 > 0

Para x'' = --1,

x² – x = (-1)² – (– 1) = 1 + 1 = 2 > 0

Concluímos então que os resultados possíveis para essa equação são x = – 1 e x = 3.

II. Logaritmos de mesma base:

Se tivermos uma equação logarítmica do tipo log _a n = log _a m, já que a base é a mesma, para a igualdade ser verdadeira, é necessário que n = m. É importante ainda que n = m > 0, que é a nossa condição de existência. Vejamos um exemplo prático utilizando equação:

log ₂ (4x + 5) = log ₂ (2x + 11)

Nesse exemplo, a base 2 é a mesma em ambos os lados da equação, portanto, para a igualdade ser verdadeira, é necessário que 4x + 5 seja igual a 2x + 11, temos então:

4x + 5 = 2x + 11
4x – 2x = 11 – 5
2x = 6
x = ⁶/₂
x = 3

Vamos substituir o valor encontrado para x para verificarmos a condição de existência:

4x + 5 = 4 . 3 + 5 = 12 + 5 = 17 > 0